3.55 \(\int \frac {(c+d \tan (e+f x)) (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x))}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=265 \[ -\frac {(b c-a d) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b^2 f \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (e+f x))}+\frac {\log (\cos (e+f x)) \left (-\left (a^2 (d (A-C)+B c)\right )+2 a b (A c-B d-c C)+b^2 (d (A-C)+B c)\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {x \left (a^2 (A c-B d-c C)+2 a b (d (A-C)+B c)-b^2 (A c-B d-c C)\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {\left (a^4 C d-a^2 b^2 (d (A-3 C)+B c)+2 a b^3 (A c-B d-c C)+b^4 (A d+B c)\right ) \log (a+b \tan (e+f x))}{b^2 f \left (a^2+b^2\right )^2} \]

[Out]

(a^2*(A*c-B*d-C*c)-b^2*(A*c-B*d-C*c)+2*a*b*(B*c+(A-C)*d))*x/(a^2+b^2)^2+(2*a*b*(A*c-B*d-C*c)-a^2*(B*c+(A-C)*d)
+b^2*(B*c+(A-C)*d))*ln(cos(f*x+e))/(a^2+b^2)^2/f+(a^4*C*d+b^4*(A*d+B*c)+2*a*b^3*(A*c-B*d-C*c)-a^2*b^2*(B*c+(A-
3*C)*d))*ln(a+b*tan(f*x+e))/b^2/(a^2+b^2)^2/f-(A*b^2-a*(B*b-C*a))*(-a*d+b*c)/b^2/(a^2+b^2)/f/(a+b*tan(f*x+e))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.47, antiderivative size = 265, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 43, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.116, Rules used = {3635, 3626, 3617, 31, 3475} \[ -\frac {(b c-a d) \left (A b^2-a (b B-a C)\right )}{b^2 f \left (a^2+b^2\right ) (a+b \tan (e+f x))}+\frac {\left (-a^2 b^2 (d (A-3 C)+B c)+a^4 C d+2 a b^3 (A c-B d-c C)+b^4 (A d+B c)\right ) \log (a+b \tan (e+f x))}{b^2 f \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {\log (\cos (e+f x)) \left (a^2 (-(d (A-C)+B c))+2 a b (A c-B d-c C)+b^2 (d (A-C)+B c)\right )}{f \left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {x \left (a^2 (A c-B d-c C)+2 a b (d (A-C)+B c)-b^2 (A c-B d-c C)\right )}{\left (a^2+b^2\right )^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

((a^2*(A*c - c*C - B*d) - b^2*(A*c - c*C - B*d) + 2*a*b*(B*c + (A - C)*d))*x)/(a^2 + b^2)^2 + ((2*a*b*(A*c - c
*C - B*d) - a^2*(B*c + (A - C)*d) + b^2*(B*c + (A - C)*d))*Log[Cos[e + f*x]])/((a^2 + b^2)^2*f) + ((a^4*C*d +
b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))*Log[a + b*Tan[e + f*x]])/(b^2*(a^2
+ b^2)^2*f) - ((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(b*c - a*d))/(b^2*(a^2 + b^2)*f*(a + b*Tan[e + f*x]))

Rule 31

Int[((a_) + (b_.)*(x_))^(-1), x_Symbol] :> Simp[Log[RemoveContent[a + b*x, x]]/b, x] /; FreeQ[{a, b}, x]

Rule 3475

Int[tan[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[Log[RemoveContent[Cos[c + d*x], x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3617

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((A_) + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[
A/(b*f), Subst[Int[(a + x)^m, x], x, b*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, C, m}, x] && EqQ[A, C]

Rule 3626

Int[((A_) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*
(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((a*A + b*B - a*C)*x)/(a^2 + b^2), x] + (Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 + b^2), I
nt[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] - Dist[(A*b - a*B - b*C)/(a^2 + b^2), Int[Tan[e + f*x], x
], x]) /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[A*b - a
*B - b*C, 0]

Rule 3635

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e
_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> -Simp[((b*c - a*d)*(c^2*C - B*c*d + A*d^2)*
(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d^2*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] + Dist[1/(d*(c^2 + d^2)), Int[(c + d*Tan[e + f*x
])^(n + 1)*Simp[a*d*(A*c - c*C + B*d) + b*(c^2*C - B*c*d + A*d^2) + d*(A*b*c + a*B*c - b*c*C - a*A*d + b*B*d +
a*C*d)*Tan[e + f*x] + b*C*(c^2 + d^2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[n, -1]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(c+d \tan (e+f x)) \left (A+B \tan (e+f x)+C \tan ^2(e+f x)\right )}{(a+b \tan (e+f x))^2} \, dx &=-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) (b c-a d)}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) f (a+b \tan (e+f x))}+\frac {\int \frac {a^2 C d+b^2 (B c+A d)+a b (A c-c C-B d)-b (A b c-a B c-b c C-a A d-b B d+a C d) \tan (e+f x)+\left (a^2+b^2\right ) C d \tan ^2(e+f x)}{a+b \tan (e+f x)} \, dx}{b \left (a^2+b^2\right )}\\ &=\frac {\left (a^2 (A c-c C-B d)-b^2 (A c-c C-B d)+2 a b (B c+(A-C) d)\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) (b c-a d)}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) f (a+b \tan (e+f x))}+\frac {\left (a^4 C d+b^4 (B c+A d)+2 a b^3 (A c-c C-B d)-a^2 b^2 (B c+(A-3 C) d)\right ) \int \frac {1+\tan ^2(e+f x)}{a+b \tan (e+f x)} \, dx}{b \left (a^2+b^2\right )^2}-\frac {\left (2 a b (A c-c C-B d)-a^2 (B c+(A-C) d)+b^2 (B c+(A-C) d)\right ) \int \tan (e+f x) \, dx}{\left (a^2+b^2\right )^2}\\ &=\frac {\left (a^2 (A c-c C-B d)-b^2 (A c-c C-B d)+2 a b (B c+(A-C) d)\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {\left (2 a b (A c-c C-B d)-a^2 (B c+(A-C) d)+b^2 (B c+(A-C) d)\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) (b c-a d)}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) f (a+b \tan (e+f x))}+\frac {\left (a^4 C d+b^4 (B c+A d)+2 a b^3 (A c-c C-B d)-a^2 b^2 (B c+(A-3 C) d)\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{a+x} \, dx,x,b \tan (e+f x)\right )}{b^2 \left (a^2+b^2\right )^2 f}\\ &=\frac {\left (a^2 (A c-c C-B d)-b^2 (A c-c C-B d)+2 a b (B c+(A-C) d)\right ) x}{\left (a^2+b^2\right )^2}+\frac {\left (2 a b (A c-c C-B d)-a^2 (B c+(A-C) d)+b^2 (B c+(A-C) d)\right ) \log (\cos (e+f x))}{\left (a^2+b^2\right )^2 f}+\frac {\left (a^4 C d+b^4 (B c+A d)+2 a b^3 (A c-c C-B d)-a^2 b^2 (B c+(A-3 C) d)\right ) \log (a+b \tan (e+f x))}{b^2 \left (a^2+b^2\right )^2 f}-\frac {\left (A b^2-a (b B-a C)\right ) (b c-a d)}{b^2 \left (a^2+b^2\right ) f (a+b \tan (e+f x))}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 6.86, size = 589, normalized size = 2.22 \[ \frac {-2 i a \tan ^{-1}(\tan (e+f x)) (a+b \tan (e+f x)) \left (a^4 C d-a^2 b^2 (d (A-3 C)+B c)+2 a b^3 (A c-B d-c C)+b^4 (A d+B c)\right )+a^2 \left (2 (a+i b)^2 (e+f x) \left (i a^2 C d+2 a b C d+A b^2 (c-i d)+b^2 (-i B c-B d-c C)\right )-2 C d \left (a^2+b^2\right )^2 \log (\cos (e+f x))+\left (a^4 C d-a^2 b^2 (d (A-3 C)+B c)+2 a b^3 (A c-B d-c C)+b^4 (A d+B c)\right ) \log \left ((a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))^2\right )\right )+b \tan (e+f x) \left (-2 a C d \left (a^2+b^2\right )^2 \log (\cos (e+f x))+a \left (a^4 C d-a^2 b^2 (d (A-3 C)+B c)+2 a b^3 (A c-B d-c C)+b^4 (A d+B c)\right ) \log \left ((a \cos (e+f x)+b \sin (e+f x))^2\right )+2 (a+i b) \left (i a^4 C d (e+f x+i)+a^3 b (c C+d (B+C (e+f x+i)))-i a^2 b^2 (i A c (e+f x)+A d (e+f x-i)+B c (e+f x-i)-i B d (e+f x+i)-i c C (e+f x+i)-2 C d (e+f x))+a b^3 (A c (i e+i f x+1)+A d (e+f x+i)+B c (e+f x+i)-i B d (e+f x)-i c C (e+f x))-i A b^4 c\right )\right )}{2 a b^2 f \left (a^2+b^2\right )^2 (a+b \tan (e+f x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((c + d*Tan[e + f*x])*(A + B*Tan[e + f*x] + C*Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x])^2,x]

[Out]

(a^2*(2*(a + I*b)^2*(A*b^2*(c - I*d) + I*a^2*C*d + 2*a*b*C*d + b^2*((-I)*B*c - c*C - B*d))*(e + f*x) - 2*(a^2
+ b^2)^2*C*d*Log[Cos[e + f*x]] + (a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A -
3*C)*d))*Log[(a*Cos[e + f*x] + b*Sin[e + f*x])^2]) + b*(2*(a + I*b)*((-I)*A*b^4*c + I*a^4*C*d*(I + e + f*x) +
a*b^3*(A*c*(1 + I*e + I*f*x) - I*c*C*(e + f*x) - I*B*d*(e + f*x) + B*c*(I + e + f*x) + A*d*(I + e + f*x)) - I*
a^2*b^2*(I*A*c*(e + f*x) - 2*C*d*(e + f*x) + B*c*(-I + e + f*x) + A*d*(-I + e + f*x) - I*c*C*(I + e + f*x) - I
*B*d*(I + e + f*x)) + a^3*b*(c*C + d*(B + C*(I + e + f*x)))) - 2*a*(a^2 + b^2)^2*C*d*Log[Cos[e + f*x]] + a*(a^
4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c + (A - 3*C)*d))*Log[(a*Cos[e + f*x] + b*Sin
[e + f*x])^2])*Tan[e + f*x] - (2*I)*a*(a^4*C*d + b^4*(B*c + A*d) + 2*a*b^3*(A*c - c*C - B*d) - a^2*b^2*(B*c +
(A - 3*C)*d))*ArcTan[Tan[e + f*x]]*(a + b*Tan[e + f*x]))/(2*a*b^2*(a^2 + b^2)^2*f*(a + b*Tan[e + f*x]))

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 1.34, size = 556, normalized size = 2.10 \[ \frac {2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a^{3} b^{2} + 2 \, B a^{2} b^{3} - {\left (A - C\right )} a b^{4}\right )} c - {\left (B a^{3} b^{2} - 2 \, {\left (A - C\right )} a^{2} b^{3} - B a b^{4}\right )} d\right )} f x - 2 \, {\left (C a^{2} b^{3} - B a b^{4} + A b^{5}\right )} c + 2 \, {\left (C a^{3} b^{2} - B a^{2} b^{3} + A a b^{4}\right )} d - {\left ({\left (B a^{3} b^{2} - 2 \, {\left (A - C\right )} a^{2} b^{3} - B a b^{4}\right )} c - {\left (C a^{5} - {\left (A - 3 \, C\right )} a^{3} b^{2} - 2 \, B a^{2} b^{3} + A a b^{4}\right )} d + {\left ({\left (B a^{2} b^{3} - 2 \, {\left (A - C\right )} a b^{4} - B b^{5}\right )} c - {\left (C a^{4} b - {\left (A - 3 \, C\right )} a^{2} b^{3} - 2 \, B a b^{4} + A b^{5}\right )} d\right )} \tan \left (f x + e\right )\right )} \log \left (\frac {b^{2} \tan \left (f x + e\right )^{2} + 2 \, a b \tan \left (f x + e\right ) + a^{2}}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) - {\left ({\left (C a^{4} b + 2 \, C a^{2} b^{3} + C b^{5}\right )} d \tan \left (f x + e\right ) + {\left (C a^{5} + 2 \, C a^{3} b^{2} + C a b^{4}\right )} d\right )} \log \left (\frac {1}{\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1}\right ) + 2 \, {\left ({\left ({\left ({\left (A - C\right )} a^{2} b^{3} + 2 \, B a b^{4} - {\left (A - C\right )} b^{5}\right )} c - {\left (B a^{2} b^{3} - 2 \, {\left (A - C\right )} a b^{4} - B b^{5}\right )} d\right )} f x + {\left (C a^{3} b^{2} - B a^{2} b^{3} + A a b^{4}\right )} c - {\left (C a^{4} b - B a^{3} b^{2} + A a^{2} b^{3}\right )} d\right )} \tan \left (f x + e\right )}{2 \, {\left ({\left (a^{4} b^{3} + 2 \, a^{2} b^{5} + b^{7}\right )} f \tan \left (f x + e\right ) + {\left (a^{5} b^{2} + 2 \, a^{3} b^{4} + a b^{6}\right )} f\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*(((A - C)*a^3*b^2 + 2*B*a^2*b^3 - (A - C)*a*b^4)*c - (B*a^3*b^2 - 2*(A - C)*a^2*b^3 - B*a*b^4)*d)*f*x -
2*(C*a^2*b^3 - B*a*b^4 + A*b^5)*c + 2*(C*a^3*b^2 - B*a^2*b^3 + A*a*b^4)*d - ((B*a^3*b^2 - 2*(A - C)*a^2*b^3 -
B*a*b^4)*c - (C*a^5 - (A - 3*C)*a^3*b^2 - 2*B*a^2*b^3 + A*a*b^4)*d + ((B*a^2*b^3 - 2*(A - C)*a*b^4 - B*b^5)*c
- (C*a^4*b - (A - 3*C)*a^2*b^3 - 2*B*a*b^4 + A*b^5)*d)*tan(f*x + e))*log((b^2*tan(f*x + e)^2 + 2*a*b*tan(f*x
+ e) + a^2)/(tan(f*x + e)^2 + 1)) - ((C*a^4*b + 2*C*a^2*b^3 + C*b^5)*d*tan(f*x + e) + (C*a^5 + 2*C*a^3*b^2 + C
*a*b^4)*d)*log(1/(tan(f*x + e)^2 + 1)) + 2*((((A - C)*a^2*b^3 + 2*B*a*b^4 - (A - C)*b^5)*c - (B*a^2*b^3 - 2*(A
- C)*a*b^4 - B*b^5)*d)*f*x + (C*a^3*b^2 - B*a^2*b^3 + A*a*b^4)*c - (C*a^4*b - B*a^3*b^2 + A*a^2*b^3)*d)*tan(f
*x + e))/((a^4*b^3 + 2*a^2*b^5 + b^7)*f*tan(f*x + e) + (a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*f)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 2.35, size = 531, normalized size = 2.00 \[ \frac {\frac {2 \, {\left (A a^{2} c - C a^{2} c + 2 \, B a b c - A b^{2} c + C b^{2} c - B a^{2} d + 2 \, A a b d - 2 \, C a b d + B b^{2} d\right )} {\left (f x + e\right )}}{a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}} + \frac {{\left (B a^{2} c - 2 \, A a b c + 2 \, C a b c - B b^{2} c + A a^{2} d - C a^{2} d + 2 \, B a b d - A b^{2} d + C b^{2} d\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}} - \frac {2 \, {\left (B a^{2} b^{2} c - 2 \, A a b^{3} c + 2 \, C a b^{3} c - B b^{4} c - C a^{4} d + A a^{2} b^{2} d - 3 \, C a^{2} b^{2} d + 2 \, B a b^{3} d - A b^{4} d\right )} \log \left ({\left | b \tan \left (f x + e\right ) + a \right |}\right )}{a^{4} b^{2} + 2 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {2 \, {\left (B a^{2} b^{2} c \tan \left (f x + e\right ) - 2 \, A a b^{3} c \tan \left (f x + e\right ) + 2 \, C a b^{3} c \tan \left (f x + e\right ) - B b^{4} c \tan \left (f x + e\right ) - C a^{4} d \tan \left (f x + e\right ) + A a^{2} b^{2} d \tan \left (f x + e\right ) - 3 \, C a^{2} b^{2} d \tan \left (f x + e\right ) + 2 \, B a b^{3} d \tan \left (f x + e\right ) - A b^{4} d \tan \left (f x + e\right ) - C a^{4} c + 2 \, B a^{3} b c - 3 \, A a^{2} b^{2} c + C a^{2} b^{2} c - A b^{4} c - B a^{4} d + 2 \, A a^{3} b d - 2 \, C a^{3} b d + B a^{2} b^{2} d\right )}}{{\left (a^{4} b + 2 \, a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} {\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}}}{2 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(2*(A*a^2*c - C*a^2*c + 2*B*a*b*c - A*b^2*c + C*b^2*c - B*a^2*d + 2*A*a*b*d - 2*C*a*b*d + B*b^2*d)*(f*x +
e)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) + (B*a^2*c - 2*A*a*b*c + 2*C*a*b*c - B*b^2*c + A*a^2*d - C*a^2*d + 2*B*a*b*d - A*b^
2*d + C*b^2*d)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - 2*(B*a^2*b^2*c - 2*A*a*b^3*c + 2*C*a*b^3*c -
B*b^4*c - C*a^4*d + A*a^2*b^2*d - 3*C*a^2*b^2*d + 2*B*a*b^3*d - A*b^4*d)*log(abs(b*tan(f*x + e) + a))/(a^4*b^2
+ 2*a^2*b^4 + b^6) + 2*(B*a^2*b^2*c*tan(f*x + e) - 2*A*a*b^3*c*tan(f*x + e) + 2*C*a*b^3*c*tan(f*x + e) - B*b^
4*c*tan(f*x + e) - C*a^4*d*tan(f*x + e) + A*a^2*b^2*d*tan(f*x + e) - 3*C*a^2*b^2*d*tan(f*x + e) + 2*B*a*b^3*d*
tan(f*x + e) - A*b^4*d*tan(f*x + e) - C*a^4*c + 2*B*a^3*b*c - 3*A*a^2*b^2*c + C*a^2*b^2*c - A*b^4*c - B*a^4*d
+ 2*A*a^3*b*d - 2*C*a^3*b*d + B*a^2*b^2*d)/((a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*(b*tan(f*x + e) + a)))/f

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.30, size = 948, normalized size = 3.58 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2,x)

[Out]

1/f/(a^2+b^2)^2*A*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c-1/f/(a^2+b^2)^2*A*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c-1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+t
an(f*x+e)^2)*A*b^2*d+1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a^2*d-1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a^2*d
-1/f/(a^2+b^2)^2*ln(a+b*tan(f*x+e))*A*a^2*d-2/f/(a^2+b^2)^2*b*ln(a+b*tan(f*x+e))*B*a*d+1/f/(a^2+b^2)^2/b^2*ln(
a+b*tan(f*x+e))*a^4*C*d-1/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*A*a*b*c+1/f/(a^2+b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*A*a*d+3/f/(a
^2+b^2)^2*ln(a+b*tan(f*x+e))*C*a^2*d+1/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*a*b*c+2/f/(a^2+b^2)^2*A*arctan(tan(f
*x+e))*a*b*d+2/f/(a^2+b^2)^2*B*arctan(tan(f*x+e))*a*b*c-2/f/(a^2+b^2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*a*b*d-1/f/b/(a^2+
b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*B*a^2*d+1/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a*b*d+1/f/b^2/(a^2+b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*a^
3*C*d-1/f/b/(a^2+b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*C*a^2*c+2/f/(a^2+b^2)^2*b*ln(a+b*tan(f*x+e))*A*a*c-2/f/(a^2+b^2)^2*b*ln
(a+b*tan(f*x+e))*C*a*c-1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*b^2*c+1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*B*a^2
*c-1/f/(a^2+b^2)^2*B*arctan(tan(f*x+e))*a^2*d+1/f/(a^2+b^2)^2*B*arctan(tan(f*x+e))*b^2*d+1/f/(a^2+b^2)^2*b^2*l
n(a+b*tan(f*x+e))*B*c+1/2/f/(a^2+b^2)^2*ln(1+tan(f*x+e)^2)*C*b^2*d-1/f/(a^2+b^2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*a^2*c+
1/f/(a^2+b^2)^2*C*arctan(tan(f*x+e))*b^2*c-1/f/(a^2+b^2)^2*ln(a+b*tan(f*x+e))*B*a^2*c+1/f/(a^2+b^2)^2*b^2*ln(a
+b*tan(f*x+e))*A*d-1/f*b/(a^2+b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*A*c+1/f/(a^2+b^2)/(a+b*tan(f*x+e))*B*a*c

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 0.46, size = 338, normalized size = 1.28 \[ \frac {\frac {2 \, {\left ({\left ({\left (A - C\right )} a^{2} + 2 \, B a b - {\left (A - C\right )} b^{2}\right )} c - {\left (B a^{2} - 2 \, {\left (A - C\right )} a b - B b^{2}\right )} d\right )} {\left (f x + e\right )}}{a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}} - \frac {2 \, {\left ({\left (B a^{2} b^{2} - 2 \, {\left (A - C\right )} a b^{3} - B b^{4}\right )} c - {\left (C a^{4} - {\left (A - 3 \, C\right )} a^{2} b^{2} - 2 \, B a b^{3} + A b^{4}\right )} d\right )} \log \left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}{a^{4} b^{2} + 2 \, a^{2} b^{4} + b^{6}} + \frac {{\left ({\left (B a^{2} - 2 \, {\left (A - C\right )} a b - B b^{2}\right )} c + {\left ({\left (A - C\right )} a^{2} + 2 \, B a b - {\left (A - C\right )} b^{2}\right )} d\right )} \log \left (\tan \left (f x + e\right )^{2} + 1\right )}{a^{4} + 2 \, a^{2} b^{2} + b^{4}} - \frac {2 \, {\left ({\left (C a^{2} b - B a b^{2} + A b^{3}\right )} c - {\left (C a^{3} - B a^{2} b + A a b^{2}\right )} d\right )}}{a^{3} b^{2} + a b^{4} + {\left (a^{2} b^{3} + b^{5}\right )} \tan \left (f x + e\right )}}{2 \, f} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)^2)/(a+b*tan(f*x+e))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(2*(((A - C)*a^2 + 2*B*a*b - (A - C)*b^2)*c - (B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*d)*(f*x + e)/(a^4 + 2*a^2*b^
2 + b^4) - 2*((B*a^2*b^2 - 2*(A - C)*a*b^3 - B*b^4)*c - (C*a^4 - (A - 3*C)*a^2*b^2 - 2*B*a*b^3 + A*b^4)*d)*log
(b*tan(f*x + e) + a)/(a^4*b^2 + 2*a^2*b^4 + b^6) + ((B*a^2 - 2*(A - C)*a*b - B*b^2)*c + ((A - C)*a^2 + 2*B*a*b
- (A - C)*b^2)*d)*log(tan(f*x + e)^2 + 1)/(a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4) - 2*((C*a^2*b - B*a*b^2 + A*b^3)*c - (C*a^3
- B*a^2*b + A*a*b^2)*d)/(a^3*b^2 + a*b^4 + (a^2*b^3 + b^5)*tan(f*x + e)))/f

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 21.14, size = 1875, normalized size = 7.08 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((c + d*tan(e + f*x))*(A + B*tan(e + f*x) + C*tan(e + f*x)^2))/(a + b*tan(e + f*x))^2,x)

[Out]

(log(a + b*tan(e + f*x))*(b^4*(A*d + B*c) - b^3*(2*B*a*d - 2*A*a*c + 2*C*a*c) - b^2*(A*a^2*d + B*a^2*c - 3*C*a
^2*d) + C*a^4*d))/(f*(b^6 + 2*a^2*b^4 + a^4*b^2)) - (log((A*B*b^4*d^2 - A*B*b^4*c^2 + B*C*a^4*d^2 + B*C*b^4*c^
2 - A^2*b^4*c*d + B^2*b^4*c*d + C^2*a^4*c*d - A^2*a*b^3*c^2 + A^2*a*b^3*d^2 + B^2*a*b^3*c^2 - B^2*a*b^3*d^2 -
C^2*a*b^3*c^2 + C^2*a*b^3*d^2 + A*B*a^2*b^2*c^2 - A*B*a^2*b^2*d^2 - B*C*a^2*b^2*c^2 + 3*B*C*a^2*b^2*d^2 + A^2*
a^2*b^2*c*d - B^2*a^2*b^2*c*d + 3*C^2*a^2*b^2*c*d - A*C*a^4*c*d + A*C*b^4*c*d + 2*A*C*a*b^3*c^2 - 2*A*C*a*b^3*
d^2 - 4*A*C*a^2*b^2*c*d + 4*A*B*a*b^3*c*d - 4*B*C*a*b^3*c*d)/(b*(a^2 + b^2)^2) + (tan(e + f*x)*(A^2*b^4*c^2 +
B^2*b^4*d^2 + C^2*a^4*d^2 + C^2*b^4*c^2 + C^2*b^4*d^2 + A^2*a^2*b^2*d^2 + B^2*a^2*b^2*c^2 + 3*C^2*a^2*b^2*d^2
- A*C*a^4*d^2 - 2*A*C*b^4*c^2 - A*C*b^4*d^2 - 4*A*C*a^2*b^2*d^2 - 2*A*B*b^4*c*d - B*C*a^4*c*d + B*C*b^4*c*d -
2*A*B*a*b^3*c^2 + 2*A*B*a*b^3*d^2 + 2*B*C*a*b^3*c^2 - 2*B*C*a*b^3*d^2 - 2*A^2*a*b^3*c*d + 2*B^2*a*b^3*c*d - 2*
C^2*a*b^3*c*d + 2*A*B*a^2*b^2*c*d - 4*B*C*a^2*b^2*c*d + 4*A*C*a*b^3*c*d))/(b*(a^2 + b^2)^2) + ((c + d*1i)*(A +
B*1i - C)*(A*b*c - B*b*d - 4*C*a*d - C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b^4*d + 3*B*b^4*c + 2*C*a^4*d - 5*C*b^4*d + 4
*A*a*b^3*c - 4*B*a*b^3*d - 4*C*a*b^3*c - A*a^2*b^2*d - B*a^2*b^2*c + C*a^2*b^2*d))/(b*(a^2 + b^2)) + (b*(c + d
*1i)*(4*a*b - a^2*tan(e + f*x) + 3*b^2*tan(e + f*x))*(A + B*1i - C)*1i)/(a*1i - b)^2)*1i)/(2*(a*1i - b)^2))*(A
*c + A*d*1i + B*c*1i - B*d - C*c - C*d*1i))/(2*f*(2*a*b - a^2*1i + b^2*1i)) - (log((A*B*b^4*d^2 - A*B*b^4*c^2
+ B*C*a^4*d^2 + B*C*b^4*c^2 - A^2*b^4*c*d + B^2*b^4*c*d + C^2*a^4*c*d - A^2*a*b^3*c^2 + A^2*a*b^3*d^2 + B^2*a*
b^3*c^2 - B^2*a*b^3*d^2 - C^2*a*b^3*c^2 + C^2*a*b^3*d^2 + A*B*a^2*b^2*c^2 - A*B*a^2*b^2*d^2 - B*C*a^2*b^2*c^2
+ 3*B*C*a^2*b^2*d^2 + A^2*a^2*b^2*c*d - B^2*a^2*b^2*c*d + 3*C^2*a^2*b^2*c*d - A*C*a^4*c*d + A*C*b^4*c*d + 2*A*
C*a*b^3*c^2 - 2*A*C*a*b^3*d^2 - 4*A*C*a^2*b^2*c*d + 4*A*B*a*b^3*c*d - 4*B*C*a*b^3*c*d)/(b*(a^2 + b^2)^2) + (ta
n(e + f*x)*(A^2*b^4*c^2 + B^2*b^4*d^2 + C^2*a^4*d^2 + C^2*b^4*c^2 + C^2*b^4*d^2 + A^2*a^2*b^2*d^2 + B^2*a^2*b^
2*c^2 + 3*C^2*a^2*b^2*d^2 - A*C*a^4*d^2 - 2*A*C*b^4*c^2 - A*C*b^4*d^2 - 4*A*C*a^2*b^2*d^2 - 2*A*B*b^4*c*d - B*
C*a^4*c*d + B*C*b^4*c*d - 2*A*B*a*b^3*c^2 + 2*A*B*a*b^3*d^2 + 2*B*C*a*b^3*c^2 - 2*B*C*a*b^3*d^2 - 2*A^2*a*b^3*
c*d + 2*B^2*a*b^3*c*d - 2*C^2*a*b^3*c*d + 2*A*B*a^2*b^2*c*d - 4*B*C*a^2*b^2*c*d + 4*A*C*a*b^3*c*d))/(b*(a^2 +
b^2)^2) + ((c*1i + d)*(B*1i - A + C)*(A*b*c - B*b*d - 4*C*a*d - C*b*c + (tan(e + f*x)*(3*A*b^4*d + 3*B*b^4*c +
2*C*a^4*d - 5*C*b^4*d + 4*A*a*b^3*c - 4*B*a*b^3*d - 4*C*a*b^3*c - A*a^2*b^2*d - B*a^2*b^2*c + C*a^2*b^2*d))/(
b*(a^2 + b^2)) + (b*(c*1i + d)*(4*a*b - a^2*tan(e + f*x) + 3*b^2*tan(e + f*x))*(B*1i - A + C))/(a*1i + b)^2))/
(2*(a*1i + b)^2))*(A*c*1i + A*d + B*c - B*d*1i - C*c*1i - C*d))/(2*f*(a*b*2i - a^2 + b^2)) - (A*b^3*c - C*a^3*
d - A*a*b^2*d - B*a*b^2*c + B*a^2*b*d + C*a^2*b*c)/(b^2*f*(a^2 + b^2)*(a + b*tan(e + f*x)))

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 3.95, size = 9721, normalized size = 36.68 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))*(A+B*tan(f*x+e)+C*tan(f*x+e)**2)/(a+b*tan(f*x+e))**2,x)

[Out]

Piecewise((zoo*x*(c + d*tan(e))*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/tan(e)**2, Eq(a, 0) & Eq(b, 0) & Eq(f, 0)), (A*c*
f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*I*A*c*f*x*tan(e + f*x
)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - A*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*
b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + A*c*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b*
*2*f) - 2*I*A*c/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - I*A*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(
-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*A*d*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*
x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*A*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) +
4*b**2*f) - I*A*d*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - I*B*c*f*x*t
an(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*B*c*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b
**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*B*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*
f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - I*B*c*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*
f) - B*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*B*d*f*x*ta
n(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + B*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)*
*2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 3*B*d*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e +
f*x) + 4*b**2*f) - 2*I*B*d/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - C*c*f*x*tan(e +
f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*C*c*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f
*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + C*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e
+ f*x) + 4*b**2*f) + 3*C*c*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*
I*C*c/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 3*I*C*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*
f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 6*C*d*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 +
8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 3*I*C*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**
2*f) - 2*C*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4
*b**2*f) + 4*I*C*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x)
+ 4*b**2*f) + 2*C*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f)
+ 5*I*C*d*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 4*C*d/(-4*b**2*f*tan
(e + f*x)**2 + 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f), Eq(a, -I*b)), (A*c*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e +
f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*A*c*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2
*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - A*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + A*c*t
an(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*A*c/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)
**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*A*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*
tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*A*d*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**
2*f) - I*A*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*A*d*tan(e + f*x)/(-4*b**
2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*B*c*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)*
*2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*B*c*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(
e + f*x) + 4*b**2*f) - I*B*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + I*B*c*tan(
e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - B*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f
*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*I*B*d*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 -
8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + B*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f
) + 3*B*d*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*B*d/(-4*b**2*f*t
an(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - C*c*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*
I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*I*C*c*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f
*x) + 4*b**2*f) + C*c*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 3*C*c*tan(e + f*x
)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*I*C*c/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*
b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 3*I*C*d*f*x*tan(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e +
f*x) + 4*b**2*f) - 6*C*d*f*x*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 3
*I*C*d*f*x/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 2*C*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*t
an(e + f*x)**2/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 4*I*C*d*log(tan(e + f*x)**2
+ 1)*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 2*C*d*log(tan(e + f*x)**2
+ 1)/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) - 5*I*C*d*tan(e + f*x)/(-4*b**2*f*tan(e
+ f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x) + 4*b**2*f) + 4*C*d/(-4*b**2*f*tan(e + f*x)**2 - 8*I*b**2*f*tan(e + f*x)
+ 4*b**2*f), Eq(a, I*b)), ((A*c*x + A*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + B*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) -
B*d*x + B*d*tan(e + f*x)/f - C*c*x + C*c*tan(e + f*x)/f - C*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*f) + C*d*tan(e + f*x
)**2/(2*f))/a**2, Eq(b, 0)), (x*(c + d*tan(e))*(A + B*tan(e) + C*tan(e)**2)/(a + b*tan(e))**2, Eq(f, 0)), (2*A
*a**3*b**2*c*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*
a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a**3*b**2*d*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan
(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + A*a**3*b**2*d*l
og(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*
x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a**3*b**2*d/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**
3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a**2*b**3*c*f*x*tan(e + f*x)
/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**
7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a**2*b**3*c*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a*
*3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a**2*b**3*c*log(tan(e + f*x
)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*
f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a**2*b**3*c/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a
**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a**2*b**3*d*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b*
*3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a**
2*b**3*d*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*
a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + A*a**2*b**3*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e
+ f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f +
2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*b**4*c*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**
2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a*b**4*c*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x
)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b*
*7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*a*b**4*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e +
f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 4*A*a*b**4*d*f*x*ta
n(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6
*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a*b**4*d*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - A*a*b**4*d*log(tan(e + f
*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**
6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*a*b**4*d/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a*
*2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*A*b**5*c*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*
a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) -
2*A*b**5*c/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6
*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*A*b**5*d*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*t
an(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - A*b**5*d*log(
tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*
tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a**4*b*d/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a**3*b**2*c*log(a/b +
tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*
b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + B*a**3*b**2*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e
+ f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a**3*b**2*c/(2
*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f
*tan(e + f*x)) - 2*B*a**3*b**2*d*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5
*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 4*B*a**2*b**3*c*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan
(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a**2*b**3*c
*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**
5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + B*a**2*b**3*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(
2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*
f*tan(e + f*x)) - 2*B*a**2*b**3*d*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f
+ 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 4*B*a**2*b**3*d*log(a/b + tan(e + f*x))/
(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7
*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a**2*b**3*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a*
*3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*B*a**2*b**3*d/(2*a**5*b**2*f
+ 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)
) + 4*B*a*b**4*c*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*
tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*b**4*c*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a
**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - B
*a*b**4*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f
*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*b**4*c/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*b**4*d*f*x/(2*a**5
*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(
e + f*x)) - 4*B*a*b**4*d*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*
a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*a*b**4*d*log(tan(e + f*x)
**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x)
+ 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b**5*c*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a*
*4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - B*
b**5*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a
**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*B*b**5*d*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2
*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) +
2*C*a**5*d*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*
f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a**5*d/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x)
+ 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a**4*b*c/(2*a**5*b**2
*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f
*x)) + 2*C*a**4*b*d*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*
b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a**3*b**2*c*f*x/(2*a**5*b**2*f
+ 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x
)) + 6*C*a**3*b**2*d*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a
**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - C*a**3*b**2*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5
*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(
e + f*x)) + 2*C*a**3*b**2*d/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*C*a**2*b**3*c*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f
*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a**2*b*
*3*c*log(a/b + tan(e + f*x))/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e
+ f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a**2*b**3*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a*
*4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 2*
C*a**2*b**3*c/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b
**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a**2*b**3*d*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4
*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 6*C*a**2*b**3*d*log(a/b + tan(e + f*x)
)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*
b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - C*a**2*b**3*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*
b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a
*b**4*c*f*x/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**
6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a*b**4*c*log(a/b + tan(e + f*x))*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*
f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*a*b**4
*c*log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*
b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) - 4*C*a*b**4*d*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a
**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + C
*a*b**4*d*log(tan(e + f*x)**2 + 1)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f
*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + 2*C*b**5*c*f*x*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3
*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)) + C*b**5*d*
log(tan(e + f*x)**2 + 1)*tan(e + f*x)/(2*a**5*b**2*f + 2*a**4*b**3*f*tan(e + f*x) + 4*a**3*b**4*f + 4*a**2*b**
5*f*tan(e + f*x) + 2*a*b**6*f + 2*b**7*f*tan(e + f*x)), True))

________________________________________________________________________________________